设f(n)>0，证明数列{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}与级数∑f(n)同敛性

“设f(n)>0，证明数列{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}与级数∑f(n)同敛性
邪恶的白痴：
如何证明∑f(n)发散，则数列{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}也发散。我可再加20分。

由不等式1+x<e^x(x大于10时）
所以ln(1+x)<x
所以
若∑f(n）收敛
则∑ln((1+f(n）)收敛
对数函数性质
加法变成函数里的乘法
所以数列ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))收敛
所以{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}收敛

啊，就是再证反方向吧

若数列{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}收敛
设此数列的通项为an
则an=1+f(1)+...+f(n)+...>f(1)+...+f(n)
设不等式右端为bn
则因为an收敛，所以bn收敛
注意到右端bn就是∑f(n）的前n项和
而级数收敛的定义就是前n项和这个数列收敛
所以∑f(n）收敛
得证

我说显然就是因为{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}
比f(1)+...+f(n) 大
所以直接就能看出来了

这题难在第一个方向，要想到用自然对数的方法把加法变乘法

哦，我把它理解成数列各项相加的级数
ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))
=ln[1+f(1)]+ln[1+f(2)]+……+ln[1+f(n)]
若limf(n)不等于0，lim{ln[1+f(n)]}也不等于0
ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))和∑f(n)都发散；若limf(n)=0,lim[1+f(n)]/f(n)=1,根据比较判别法极限形式，两者敛散性相同
综上ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))和∑f(n)，也就是{(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))}和∑f(n)敛散性相同

由不等式1+x<e^x(x大于1000时）
所以ln(1+x)<x
所以
若∑f(n）收敛
则∑ln((1+f(n）)收敛